Om å disiplinere tenkningen

Da resultatene fra Pisa-testene ble lagt fram i 2013, ble prestasjonene i matematikk løftet fram som spesielt nedslående. Matematikkunnskapene blant landets 10.-klasser var på det laveste nivået siden Norge ble med i Pisa. Riktignok var resultatet omtrent på nivå med gjennomsnittet i OECD, men dette var langt fra bra nok. «Vi har et realfagsproblem i Norge», fastslo kunnskapsminister Torbjørn Røe Isaksen. «Resultatene er rett og slett ikke gode nok». Men hvorfor bør alle barn og unge tilegne seg matematikkens operasjoner og regler? Hvorfor bør alle 10.-klassinger kunne regne med potenser, faktorisere algebrauttrykk, regne ut ligninger med to ukjente, bruke kvadratsetningene eller regne med kvadratrøtter?

Skolematematikkens nytte

I læreplanen for matematikk fellesfag hevdes det at formålet med matematikk i skolen er at faget «medverkar til å utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den einskilde treng». Det er særlig tre forestillinger som her er i omløp.

Den ene er at matematikkunnskaper kan komme til nytte i dagliglivet. «Kompetanse i matematikk er ein viktig reiskap for den einskilde», står det i læreplanen. Særlig matematikkoppgavene er preget av slike forestillinger. Et eksempel fra en tilfeldig øvingsoppgave på nettet: «Hermann er på besøk på en bondegård. Han titter inn i fjøset og ser 40 dyr (høner og griser). For moro skyld teller han beina til dyrene. Det er til sammen 136 bein. Hvor mange høner og hvor mange griser er det i fjøset?». Slike oppgaver har, når det kommer til stykket, lite med virkeligheten å gjøre. Det ville for eksempel være lettere for Hermann å telle hønene enn beina deres, og derfor må oppgavestilleren legge til at Hermann teller beina «for moro skyld». Slike oppgaver lages for å gi skinn av at matematikk er nyttig i dagliglivet. Men de aller fleste mennesker får aldri bruk for å løse dagligdagse oppgaver ved hjelp av komplisert matematikk, og derfor er kunnskaper om slike matematiske operasjoner som regel helt unyttige. Ja, det skulle ikke forundre meg om mange (voksne) vil ha problemer med å gange 7456 med 341 eller dele 653 på 5614 (prøv!). Det kan nok av og til hende at man trenger å regne ut slike ting, men det ville vel ikke falle noen inn å regne ut dette med blyant og papir når det kan gjøres på et blunk ved hjelp av kalkulatoren på PCen eller mobilen.

En annen vanlig forestilling er at matematikk vil være nyttig i ens yrke senere i livet. I læreplanen heter det for eksempel at «faget kan leggje grunnlag for å ta vidare utdanning og for deltaking i yrkesliv og fritidsaktivitetar». Matematikken i skolen skal gi ungdommen «ein solid fag­kompetanse». Men nå er det vel en forsvinnende liten del av befolkningen som noen gang i sitt yrkesliv vil få behov for å behandle, faktorisere og forenkle algebrauttrykk, og man kan spørre seg om det kan være rasjonelt å drille alle mennesker i Norge i slike ting, når det kun er helt spesielle yrkesgrupper som får bruk for det. Viktigere i denne sammenheng er nok heller det uuttalte, men forutsatte, premisset om at skolen skal fungere som et sorterings­maskineri: Ved å utsette alle elever i ti år for ulike matematiske oppgaver får man testet ut hvem som er egnet til å følge en yrkesretning som krever matematisk kompetanse. Selv om det er ytterst få mennesker man trenger med en slik fagkompetanse, er den så viktig at alle de andre barna får finne seg i å løse ulike matematikk­oppgaver i ti år til ingen (yrkesforberedende) nytte.

Den tredje forestillingen er den viktigste, det er i alle fall den læreplanen bruker mest plass på: Matematikk­undervisningen skal lære oss å tenke. Matematikk ligger til grunn for «utviklinga av logisk tenking», heter det. Og landet trenger folk som tenker logisk. Ja, dette er en forutsetning for demokratiet: «Eit aktivt demokrati treng borgarar som kan setje seg inn i, forstå og kritisk vurdere kvantitativ informasjon, statistiske analysar og økonomiske prognosar. På den måten er matematisk kompetanse nødvendig for å forstå og kunne påverke prosessar i samfunnet». Nå er det vel kun en liten, vel­utdannet elite som vil være i stand til å «kritisk vurdere kvantitativ informasjon, statistiske analysar og økonomiske prognosar» – det store flertall av oss andre vil være pris­gitt ekspertene i slike spørsmål. Men man tenker seg likevel at matematikken kan få alle til å tenke logisk, veie argumenter opp mot hverandre og velge de løsninger som er fornuftige. Derfor er det viktig at matematikken i skolen framstår som noe positivt. Den må gi elevene «rike erfaringar» og skape «positive haldningar» til matematisk kunnskap. På den måten kan faget spille en sentral rolle «i den allmenne danninga ved å påverke identitet, tenkjemåte og sjølvforståing». Matematikken foredler vår oppfatning av oss selv og verden fordi den lærer oss å tenke fornuftig.

David Kollosche har skrevet doktorgradsavhandling om disse spørsmålene, og han er særlig interessert i det siste. Hva slags tenkning er det egentlig man lærer barna gjennom matematikkundervisningen i skolen? Og hva er konsekvensen av at man lærer barn å tenke «matematisk»?

Sosialkritiske blikk

Matematikkdidaktikken beskjeftiger seg i liten grad med slike spørsmål, hevder Kollosche. Her tar man nytten av matematikkundervisningen for gitt og beskjeftiger seg med hvordan man på best mulig måte kan få innprentet matematikkunnskaper i barna. Kollosche gjennomgår imidlertid noen interessante sosialkritiske bidrag på feltet. Marxistisk orienterte kritikere påpeker at matematikk og matematikkundervisning ikke er en «ideologifri» virksomhet: På den ene side har matematikk tradisjonelt vært et maktmiddel som primært de herskende klasser har tilgang til og benytter seg av, på den annen side har matematikk­undervisningen i skolen blitt brukt til å disiplinere og ensrette elevenes tenkning: Gjennom matematikkøvelser lærer barna å konsentrere seg og å være utholdende, pliktoppfyllende og flittige – egenskaper som er uunnværlige i det moderne arbeidslivet (på skolen blir barna gitt beskjed om å løse øvingsoppgaver av samme type igjen og igjen; i fabrikken blir de beordret til å utføre de samme oppgavene igjen og igjen). Noen kritikere viser til at matematikk er et «polariserende fag»: Mer enn i andre fag er det her noen elever som synes matte er stas og elsker å drive på med det, mens andre ikke mestrer faget og hater det som pesten. Dermed får man på den ene siden ukritiske elever som omfavner matematikken og ser den som det eneste rette vei for å takle problemer, og på den annen side elever med mattefobi, som opplever matte som noe fremmed og truende og derfor overlater den til dem som har greie på slikt (ekspertene). Gjennom at matematikken framstår som et fag uten motsigelser, blir den også et kjærkomment middel til å etablere konsensus: Det man kan «bevise» gjennom matematikken, blir noe som alle må være enige om. Ja, ved at matematikken framstår som universell, verdifri og rasjonell, stiller de færreste spørsmålstegn ved at virkeligheten «matematiseres», dvs. at det man «rasjonelt» kan spørre om og undersøke, i økende grad blir det som lar seg løse med matematiske midler (for eksempel må man gjøre mennesker sammenlignbare for at de skal kunne behandles med statistikk – som i sin tur benyttes for å bevise forskjeller mellom grupper). Andre kritikere påpeker sentrale «myter» som formidles gjennom matematikk­lærebøkene i skolen, for eksempel at matematikk utsier noe om virkeligheten (referanse­myten), at den er uunnværlig i dagliglivet (deltaker­­myten), at alle kulturer er blitt «sivilisert» gjennom bruk av matematikk (frigjøringsmyten) eller at elevene vinner innsikt i matematikk gjennom å behandle konkrete dagligdagse spørsmål som de konstruerer matematiske svar på (konstruksjonsmyten). Som en rekke andre kritikere påpeker Kollosche dessuten at skolematematikken har lite å gjøre med matematikk som vitenskapelig disiplin. I skolen framstår matematikken som en vitenskap som forvalter noe ubestridelig og absolutt sant. Men dette bildet av matematikk er håpløst foreldet. Helt fra begynnelsen av 1800-tallet dukket det opp matematikere som problematiserte dette bildet, blant annet ved å etablere en ikke-euklidsk geo­metri. På begynnelsen av 1900-tallet kan man sågar snakke om en grunnlagskrise i matematikken, ikke minst gjennom paradokser innenfor mengdelæren og Gödels berømte ufullstendighetsteorem (intet konsistent aksiomsystem kan bli fullstendig og at aksiomenes konsistens ikke kan bevises innenfor systemet). Ifølge Kollosche viste matematikken seg dermed som et kulturprodukt, en vitenskap preget av matematikernes egne ønsker, hensikter, forestillinger og estetiske preferanser. Det er bare i skolen at matematikk framstår som en disiplin som produserer universelle og allmenngyldige sannheter.

Kollosche trekker veksler på mye av denne forskningen når han analyserer skolematematikkens funksjoner, men det er likevel først og fremst Foucaults genealogiske til­nærming han metodisk legger til grunn, dvs. han forsøker å lokalisere når, hvor og på hvilken måte matematikken og matematikkundervisning ble etablert, samt hva som muliggjorde dem, hvilke interesser de tjente og hvilke alterna­tiver som ble utelukket. Pedagogikk og undervisning betraktes her først og fremst som disiplinære virkemidler som skal få elevene til å bli pliktoppfyllende, dydige, flittige og fornuftige mennesker – og matematikk er her ikke noe unntak, snarere tvert imot. Matematikkundervisning er primært en form for karakterdannelse, der elevene ikke bare skal opparbeide seg viljestyrke og utholdenhet, men der de både opplæres til å dyrke det som (angivelig) er sant og oppdras til å oppfatte verden som noe som lar seg forstå og ordne ved hjelp av matematikk.

Tre paradigmer

Kollosche tar i den forbindelse for seg tre idealtypiske «dispositiver» eller anordninger (paradigmer). Det første er logikken og dens forhold til matematikken. Det finnes flere formaliserte logikker (jf. Lebniz, Boole, Frege), med det er den aristoteliske logikken som har vært den viktigste. Det er den Euklid bygger på, og det er den som fremdeles forutsettes i skolematematikken. Den bygger på fire grunn­antagelser: 1) identitet (ethvert element forblir det samme og endrer seg ikke, for eksempel er og blir et partall et partall og en sirkel en sirkel); 2) motsigelsesfrihet (noe kan ikke både være og ikke være, et tall kan ikke være både et partall og ikke være et partall); 3) utelukkelse av en tredje mulighet (noe er eller er ikke; enten er et tall et partall, eller så er det ikke et partall); 4) årsak (alt har en årsak – unntatt den første årsak; at en summen av vinklene i en trekant er 90o, kan bevises).

Kollosche gjør oppmerksom på at den aristoteliske logikken er et resultat av at den gammelgreske tenkningen forsøkte å løsrive seg fra et en mytologisk livsanskuelse. Mange førsokratikerne hevdet at alle fenomener skulle begrunnes og årsaksforklares, og allerede Parmenides formulerte prinsippene om identitet, motsigelsesfrihet og utelukkelsen av den tredje mulighet. Disse prinsippene kan også knyttes til patriarkatet og militærvesenet (det finnes en og bare en far eller øverste general og ingen kan erstatte ham). Det gjaldt å forankre det sanne i noe evig, sikkert og uforanderlig (egentlig var dette ifølge Kollosche bare er en sekularisert myte), og det var dette logikken kunne tilby. I nytiden (framfor alt med Leibniz) ble den logiske tenkningen gjort til vitenskapelig program: En kunnskap var ikke vitenskapelig med mindre den fulgte logikkens prinsipper, og matematikken (aritmetikk og geometri) var i så måte eksemplarisk. For å oppnå et logisk og vitenskapelig blikk på verden, måtte tenkningen disiplineres. Det foranderlige, blandede, motsetningsfylte, uavklarte eller ubestemmelige måtte holdes utenfor. Over­for dette dispositivet har den enkelte bare to mulig­heter: enten adoptere den logiske tenke­måten og dermed underordne seg logikkens disiplineringsteknikker; eller unndra seg dens prinsipper, trekke seg tilbake og overlate sentrale beslutninger til ekspertene.

Logikken har utvilsomt åpnet store muligheter, hevder Kollosche. Moderne vitenskap og demokrati ville knapt være mulig uten logisk argumentasjon. Men på den annen side disiplinerer det logiske dispositivet oss til å betrakte verden på en ensidig og svært begrenset måte. Det er dette begrensede syn på verden skolematematikken for­midler, mener han. Det er ingen som forteller dagens matematikk­elever at matematikkens grunnlag er usikkert eller at det finnes ikke-euklidsk geometri, paradokser i mengdelæren eller alternative logikker. Elevene ser­ve­res fremdeles myten om at matematikken gir oss evige sannheter, og man oppdrar dem til å tro at skole­matematik­kens spørsmål kun har ett entydig, sant og riktig svar. Dermed gis elevene et håpløst foreldet bilde av matematisk kunnskap, nemlig at den er uforanderlig, entydig og begrunnet på en slik måte at det ikke kan være annerledes. Mens elevene angivelig skal oppdras til å bli myndige, selvstendige og kritiske individer, disiplineres de gjennom matematikkundervisningen til å blindt adlyde reglene i et system som (feilaktig) angis å være ubetvilelig.

Det andre dispositivet er regning med tall og symboler. Kollosche forfølger regningens opphav helt tilbake til oldtiden. Mens orientalske stater formodentlig brukte regning i forvaltning av gods og eiendom, begynte man i de greske bystatene å «vitenskapeliggjøre» slike praksiser ved å løsrive dem fra praktiske oppgaver. Man begynte å operere med ukjente tall, altså en abstrakt størrelse som man vet finnes, men som man skal finne fram til (for eksempel: hva må h være for at h + 1/3h +1/2h + 1/7h = 33). Med den franske matematikeren Franciscus Vieta begynte man også på slutten av 1500-tallet å regne med abstrakte symboler (som altså ikke viser til bestemte tall, men alle mulige tall), for eksempel den kommutative regelen for addisjon: a + b = b + a. Ja, gjennom den abstrakte algebraen trengte ikke symbolene lenger å representere tall, og relasjonen (+) kunne gjøres generell (a*b = b*a). Dermed oppstod en tenkemåte og et symbolspråk som førte til at tegnene og tingene skilte lag: Tegnene viste ikke lenger til ting eller størrelser i verden som skulle telles og beregnes, men dannet på et vis en egen verden (noe som for alvor skjedde med Leibniz’ differensialregning, der han opererte med størrelser som gikk mot uendelig).

Ifølge Kollosche frambringer regning en tenkning som samsvarer med byråkratiet slik det idealtypisk beskrives av Max Weber. Det typiske for et byråkrati er at det funge­rer som en logisk ordnet maskin som behandler alle saker på den mest effektive måte. Den store utfordringen som byråkraten møter i sin hverdag er ikke bare at han rutinemessig må utføre de samme arbeidsgavene hele tiden, men at han uavlatelig må «identifisere» tilfellene, dvs. avgjøre hvilke regler som gjelder for nettopp dette tilfellet. De ansatte i et byråkrati er profesjonelle embetsmenn som er opplært til å følge alle lover og regler til punkt og prikke. De evner derfor å se bort fra enhver personlig binding og setter hat, lidenskap og andre personlige preferanser til side. De er lojale overfor systemet, opplever arbeidet som en plikt og opptrer upersonlig, saklig og korrekt overfor overordnede, underordnede og eventuelle klienter. En byråkrat er helt og holdent en fagmann. Fordelen med et slikt system er at alle tilfeller behandles likt og «rettferdig», ulempen er at det krever en askese hos byråkratene som fører til at de mister sin menneskelighet. Og Kollosche viser i sakens anledning til Zygmunt Baumans berømte tese at det nettopp var denne byråkratiske tenkningen som muliggjorde Holocaust.

Det er således ifølge Kollosche ikke tilfeldig at regne­kunsten ble stadig viktigere i moderne stater og organisa­sjoner med omfattende regnskapsføring og bokholderi. Det er en «strukturell parallell» mellom byråkrati og regne­kunst: Byråkratiet blir en egen verden av embeter og regler, der det ikke er personen det kommer an på, men hvilken posisjon han har, og der byråkratene «regner» seg fram til hvilke løsninger som samsvarer med reglene. Det mennesket som møter et byråkrati blir ikke møtt som en konkret person, men som et «tilfelle» som skal subsumeres under de gitte reglene. I regnekunsten og byråkratiet opplæres man til å tenke abstrakt og behandle alt man støter på som elementer som skal kunne måles, veies eller på annet vis inngå i en form for regnskap. Det er denne holdning elevene oppdras til i matematikkundervisningen, framholder Kollosche. Å lære seg å regne er i grunnen en oppdragelse i «byråkratisk-beregnende tenkning».

Det tredje dispositivet – den såkalte matematiseringen – forlenger dette perspektivet. Den som har en hammer, betrakter alt som en spiker, heter det. Og det er et lign­ende perspektiv Kollosche anfører på matematikk­undervisningen. Gjennom å gjennomføre utallige regne­oppgaver læres eleven ikke bare opp til å se bort fra personlige behov og adlyde de ordrene oppgavestillerne gir, men de oppdras også til å oppfatte alle problemer og spørsmål som noe som kan løses med matematiske midler. Eleven blir som legen som overfor en rasende pasient ikke spør hva som er i veien, men heller måler blodtrykket. Også når det gjelder åpne oppgaver – der elevene ikke beordres «Regn ut!», men skal analysere en situasjon og selv finne løsningen – terpes det inn i elevene at det finnes en (og bare én) løsning; og det gjelder bare å benytte den riktige matematiske metoden for å finne den. Man lærer at ethvert problem kan håndteres på en teknisk-matematisk måte. Ikke minst ligger det i denne tilnærmingen en retorisk kraft: Siden skolematematikken fortier matematikkens grunnlagsproblemer og usikre fundament, framstår den som et egnet middel til å etablere konsensus. Ja, i siste instans etableres et matematisk syn på verden, der bare det som kan beregnes, telles, måles og veies blir viktig. Hermann i oppgaven innledningsvis må ha vært alvorlig bitt av denne basillen når han ved synet av hønene og grisene (som han tydeligvis allerede hadde telt til å være 40) kunne komme på den tanke at han vil telle beina deres, for deretter å sette seg ned, med papir og blyant, og regne ut hvor mange griser og høner det er. En gutt som kan finne på slikt, må utvilsomt ha fått en overdose matematikk på skolen.

I alle disse tre positivene er det for Kollosche et sentralt poeng at matematikkundervisningen fungerer polari­serende. De elevene som mestrer og tilegner seg den matematiske logikken, regnekunsten og en matemati­serende holdningen blir som Hermann: De føyer seg glatt inn i det moderne arbeidslivet der slike egenskaper verdsettes og dyrkes. Ja, det dyrkes fram en privilegert gruppe av eksperter som tenker logisk, matematisk og byråkratisk og som i kraft av disse egenskapene gis makt i viktige beslutningsprosesser. De elevene som derimot ikke kan eller vil trekke på seg denne matematiske tvangstrøyen, vender den derimot ryggen, gir opp og overlater «slikt» til ekspertene. Men det ligger ifølge Kollosche et dypt nederlag og en ydmykende underkuelse i denne motreaksjonen: Man blir gjennom et langt skoleliv innbilt at matematikk er nødvendig for å takle små og store problemer i dagliglivet, og implikasjonen av dette er at den som mislykkes i matematikk, ikke bare tvinges til å oppfatte seg selv som «dårlig i matematikk», men også som en person som ikke er i stand til å takle livet.

*

Kollosche gir en tankevekkende beskrivelse av hvordan matematikkundervisningen i skolen fungerer. Man kan imidlertid stille spørsmålstegn ved undersøkelsens meto­diske og empiriske grunnlag. Foucault påberopes som mentor og ledestjerne, men det er ikke alltid like klart i hvilken grad hans analyser uten videre kan overføres på Kollosches prosjekt. Det er for eksempel ikke opplagt at Foucaults beskrivelser av ulike selvforholdsteknologier – som han primært lokaliserte i gammelgreske- og romerske eliter – uten videre kan overføres til matematik­kundervisningens forsøk på å etablere en asketisk livs­førsel hos elevene. Heller ikke virker det overbevisende når han støtter seg på Foucaults analyser av klassisismens episteme (blant annet Port Royal-logikken) i beskrivelsen av regnekunsten og byråkratiet. I Foucaults fortelling i Ordene og tingene blir jo dette epistemet erstattet på slutten av 1700-tallet og begynnelsen av 1800 med et nytt episteme, basert på et nytt tegnbegrep (forankret i det meningsstiftende subjektet). Jeg har ikke all verdens tro på at dette skiftet er så markant som Foucault vil ha det til, eller at det overhodet lar seg påvise et slikt epistemeskifte. Men Kollosche støtter seg ikke bare tungt på Foucault her, han hevder at det er det klassiske epsistemet som fortsatt er rådende – til tross for at Foucault insisterer på et det skjer et radikalt brudd omkring 1800. Det kan godt være at Kollosche har rett – at den tegnaktige, avsondrede verden som både byråkratiet og matematikken representerer, er typisk for vår tid. Men i så fall kan han vel vanskelig på­berope seg Foucault.

En annen og viktigere innvending mot Kollosches bok er den magre empirien. Når han foretar sine «genea­logiske» undersøkelser, så støtter han seg først og fremst på sekundærkilder. Kildegrunnlaget for hans undersøkelse er i hovedsak enkelte historikere, noen filosofer og en rekke moderne forskere som har tatt for seg matematikk­undervisningen i skolen. Hans bok framstår derfor mer som et forskningsprogram enn som et forskningsresultat. Men det virvles allikevel opp nok perspektiver her til at den som vil foreta en mer empirisk basert genealogisk undersøkelse av skolens matematikkundervisning, har noe lære. Utvilsomt vil også dagens politikere og skole­byråkrater ha godt av å konfronteres med Kollosches bok. Men det er vel for mye å håpe på. De fleste av dem kan vel ikke engang tysk – et fag som man i dag tydeligvis anser for å være mindre viktig enn matematikk.

Av Espen Schaanning | IFIKK, Universitetet i Oslo | .(JavaScript must be enabled to view this email address)