Drømmen om matematisk sikkerhet

Halvseklet 1880–1930 var en avgjørende tid i vestlig idéhistorie, siden det var da vitenskaper som psykologi, psykiatri, kriminologi og sosiologi festet grepet. Men det var også en tid da naturvitenskapene møtte uoverstigelige grunnlagsproblemer. Det skulle være nok å nevne Einsteins relativitetsteori eller Heisenbergs usikkerhetsprinsipp. Naturen ble aldri den samme etter slike «oppdagelser». Fysikken gjennomgikk hva Thomas Kuhn i sin tid kalte en vitenskapelig revolusjon. Men også matematikken ble på denne tiden rammet av grunnlagsproblemer, og en rekke filosofer la sine hoder i bløt for å redde matematikkens sikre grunnlag. De kjempet forgjeves. Etter begynnelsen av 1930-tallet var forestillingen om matematikken som en absolutt sikker vitenskap definitivt gjort til skamme. Denne forestillingen lever i dag kun videre i skolematematikken.

Det har nylig utkommet to bøker som belyser denne problematikken. Petter Rasmussons bok Strömningar i matematikens filosofi er i hovedsak en innføring i tre sentrale filosofers forsøk på å etablere et fast grunnlag for matematikken (Frege, Brouwer og Hilbert). Den er et pedagogisk mesterstykke og bæres oppe av en genuin interesse for matematikkens grunnlagsproblemer. Boken forklarer alt fra grunnen av, og den som har interesse og krefter til å følge de 480 sidene vil få et grundig innblikk i et relativt komplisert stoff (som for eksempel Gödels bevis for det første ufullstendighetsteoremet). Den er skrevet av en amatør i ordets mest positive forstand, det vil si en person som selv ikke er forsker i matematikk (Rasmusson har for tiden en administrativ stilling ved Malmö högskola), men som åpenbart elsker matematikk og filosofiske problemstillinger knyttet til dette faget. Den andre boken er skrevet av Ian Hacking (f. 1936), en gammel rev på feltet, en mann som tør være kjent for de fleste som har beskjeftiget seg noe med vitenskapshistorie: Etter at han tok doktorgrad på statistikkens metodiske grunnlag i 1962, har han blant annet vært professor i filosofi i Toronto og i filosofi og vitenskapelige begrepers historie ved Collège de France. Hans siste bok Why Is There Philosophy of Mathematics at All? er en serie refleksjoner over mange av de grunnlags-problemene Frege, Brouwer og Hilbert forsøkte å løse. Men med sin lange forskerkarriere innen feltet forankrer Hacking sine utlegninger ubesværet i så vel matematikkens idéhistorie som dagens matematikk-filosofiske diskurs.

Frege og tallene

Før Rasmusson går i dybden på Frege, Brouwer og Hilbert, har han en lang innledning om logikk og anskuelse og deres historie. Dette er et godt pedagogisk grep, og gir den uinnvidde gode forutsetninger for å følge med på ferden. Det er for eksempel helt umulig å få tak på Freges matematiske filosofi uten å ha satt seg inn i hans predikatlogikk (det var Frege som fant opp kvantorer som ∀x [for alle x er det slik at...] og Ǝx [det eksisterer en x slik at ...]), og Rasmussons sveip innom Kants anskuelsesbegrep og Husserls fenomenologi forbereder leseren på Brouwers og Hilberts tilnærminger. Som Rasmusson gjør oppmerksom på, er det først og fremst heltallsaritmetikken disse filosofene baler med. Det henger sammen med at alle reelle tall (dvs. alle tall på tallinjen) kan defineres ved hjelp av rasjonale tall (dvs. tall som kan skrives som en brøk der teller og nevner er heltall). Kunne man gjøre rede for heltallsaritmetikkens grunnlag, så hadde man derfor også lagt grunnen for alle andre tall.

Det er noe merkelig med tall. Straks man begynner å tenke over hva de er for noe, kommer man fort i stuss. Ta et tall som  √2 – altså det tallet som ganget med seg selv gir heltallet 2. Man kaller det gjerne et irrasjonalt tall, dvs. det lar seg ikke skrive som en brøk av to heltall. Det betyr i sin tur at det ikke har et endelig antall desimaler eller en periodisk desimalutvikling, dvs. det har en uendelighet av desimaler som dukker opp på usystematisk vis: √2=1,4142135623... . Uansett hvor kraftige datamaskiner vi har, er det ikke mulig å fastlegge alle desimalene. Man regner i dag med at 200 milliarder desimaler er kartlagt. Men dette er likevel som en dråpe i havet, for det er uendelig av desimaler igjen. Ja, i grunnen ligger størrelsen på √2 i det totale mørke – i alle fall hvis man skal uttrykke den i desimaler. Geometrisk er det naturligvis annerledes, siden √2 er lengden på hypotenusen i en rettvinklet trekant der sidene er angitt som enheten 1.

Det er i det hele tatt mye vi ennå ikke vet om tallene. Ta for eksempel de såkalt perfekte tallene, dvs. heltall som er summen av sine divisorer (28 er delelig med 14, 7, 4, 2 og 1, samtidig er 14+7+4+2+1=28). Hittil har man bare funnet 48 av dem, og man vet ennå ikke om det finnes perfekte tall som er oddetall eller om de er uendelig mange. Eller ta primtallene (heltall som kun er delelige med 1 og seg selv): Vi vet at det er uendelig mange av dem, men ikke hvordan de fordeler seg på tallinjen, selv om Atle Selberg i 1947 viste at fordelingen er grunnleggende tilfeldig (det største primtallet man kjenner består for øvrig av ca. fire millioner siffer og er et såkalt Mersenne-primtall, dvs. det kan skrives på formen 2m-1, der m er et primtall: tallet er 213466917-1). Den uforglemmelige Leonhard Euler (1707−1783) laget en formel for primtall (m2+m+41) som for alle verdier av m opp til 40 gir primtall: Ingen vet hvorfor det er slik. Han klarte også å bevise at alle primtall på formen 4n+1 er summen av to kvadrattall (for eksempel kan primtallet 29 skrives som (4x7)+1 men også som summen av 25 og 4, altså 52+22). En rekke av primtallene er såkalte primtallstvillinger, dvs. med en differanse på to (for eksempel 11 og 13, eller 59 og 61), men vi vet ikke om det finnes uendelig mange av dem. Eller ta den såkalte Goldbachs formodning om at ethvert partall større enn 2 kan skrives som summen av to primtall. Dette synes å stemme (man har hittil sjekket alle tall opp til 4x1018), men formodningen er ennå ikke bevist.

Ut fra slike eksempler er det lett å tro at tallene – og resten av de matematiske objektene og formlene – utgjør en egen «verden», og at matematikerne på et vis «oppdager» stadig nye egenskaper ved denne verdenen. Nettopp slik var det Gottlob Frege (1848–1925) tenkte, og Rasmusson beskriver hvordan Frege var representant for det man gjerne kaller matematisk platonisme: Det finnes en matematisk virkelighet eller et system av abstrakte matematiske objekter helt uavhengig av menneskets bevissthet. På samme måte som det finnes konkrete objekter, finnes det abstrakte (matematiske) objekter: Aftenstjernen og Morgenstjernen har ulik mening, men refererer til samme objekt (planeten Venus); tilsvarende har uttrykkene på venstre og høyre side i tallformelen 67+53=120 ulik mening, men samme referanse. Matematikkens sannheter er noe som finnes «der ute» og som matematikere sakte, men sikkert oppdager og kartlegger. Matematikkens teorier og teoremer er sanne helt uavhengig av om menneskene finner fram til dem eller tenker dem ut.

Men Frege forsvarte ifølge Rasmusson også en form for logisisme: Matematikken er «egentlig» basert på logikk. Siden logikken antas å være absolutt sikker (og i grunnen identisk med tenkning), vil dermed matematikken ha et sikkert grunnlag. Som Rasmusson påpeker er koplingen mellom matematikk og logikk av relativt ny dato. Riktignok viste allerede Gottfried Leibniz (1646–1716) at det var en slående likhet mellom algebra og logikk, noe som George Boole (1815–1864) tok opp og videreutviklet. Men det var først på slutten av 1800-tallet at en rekke filosofer forsøkte å kople de to sammen for å sikre matematikken et solid grunnlag. De tok da gjerne utgangspunkt i at matematikk og logikk var aksiomatiske systemer (dvs. basert på et sett av aksiomer og bestemte slutningsregler), og de hevdet at logiske slutningsregler var et grunnleggende trekk ved matematikkens vesen, eller sågar at matematikken helt og holdent kunne reduseres til logikkens definisjoner, begreper og regler. Det siste var Freges prosjekt. Med tegn som ’3’ og ’7’ betegner vi abstrakte objekter som kan identifiseres med logiske objekter.

For å vise dette forsøkte Frege å definere tall i kraft av (logiske) begrepsbestemmelser. Logikkens språk er for Frege et påstandsspråk, der påstanden er enten sann eller falsk. Å forstå en påstands mening er å forstå hva som må være tilfelle for at påstanden skal være sann. Påstandens mening er dens sannhetsverdi. Når vi angir et tall gjør vi ifølge Frege et utsagn om et begrep. Han snakker i den forbindelse om «begrepsomfang» (eller klasse): Begrepet menneske har en bestemt mening, men det har også et visst omfang (ekstensjon), nemlig alle de vesener som kan karakteriseres som mennesker og som derfor sorterer under begrepet menneske (klassen menneske). For å uttrykke tall gjennom (logiske) begreper bruker Frege uttrykk som «det tall som tilkommer begrepet G», der G er et hvilket som helst begrep (for eksempel idéhistorieprofessorer). To begreper har like stort omgang (dvs. de er liktallige), når de objektene som faller inn under begrepene en-entydig kan tilordnes hverandre (for eksempel idéhistorieprofessorer og stortingspartier). Hans talldefinisjon lyder slik: «Det tall som tilkommer begrepet F er omfanget hos begrepet ’liktallig (gleichzählig) med begrepet F’». Det vil si: F har et bestemt omfang, og dette omfanget kan uttrykkes gjennom å angi et nytt begrep (’liktallig med begrepet F’). Når vi sier at 8 er et tall, så sier vi (uten å tenke over det) at det finnes et begrep (for eksempel stortingspartier), som er slik at 8 er det tallet som tilkommer det. De konkrete tallene kan defineres med utgangspunkt i de begrepene som ikke har noen objekter i det hele tatt (og derfor er tomme): Alle tall er identiske med seg selv, og derfor må begrepet ’ikke-identisk-med seg selv’ være er begrep uten objekter (en tom mengde). Frege anser derfor 0 for å være det tallet som tilkommer begrepet ’ikke-identisk-med seg selv’. Tallet 1 kan man dernest angi som det tallet som tilkommer begrepet ’identisk med 0’ (bare ett tall er identisk med 0, nemlig 0); tallet 2 kan man angi som tallet som tilkommer begrepet ’identisk med 0 eller 1’ (to og bare to tall er identisk med 0 eller 1, nemlig 0 og 1), osv. med alle naturlige tall.

Matematiske intuisjoner

Dette prosjektet med å redusere matematikk til logikk skulle senere bli videreført av Richard Dedekind (1831–1916) og Bertrand Russell (1872–1970). Men som kjent havnet man i en rekke paradokser (man vil for eksempel havne i en selvmotsigelse hvis man prøver å avgjøre om klassen av alle klasser som ikke er medlem av seg selv, er medlem av seg selv: Er den medlem av seg selv, så er den ikke medlem av seg selv‚ og motsatt). Det var i det hele tatt mange som på begynnelsen av 1900-tallet stilte spørsmålstegn ved å forankre matematikken i logikken. Man kunne jo for eksempel spørre seg hvordan logikkens egne regler i sin tur skulle kunne begrunnes. Når det kommer til stykket kan vel slike regler i grunnen bare rettferdiggjøres gjennom eksempler som vi alle aksepterer som gyldige. De synes å være forankret i en eller annen form for intuisjon. Og det var nettopp den såkalte intuisjonismen som på denne tiden framstod som en alternativ måte å garantere matematikkens sikkerhet på. Stikkordet her er «anskuelse»: Man erkjenner – umiddelbart og gjennom tenkningen – at noe er gitt. Allerede Kant snakket om «rene» anskuelser som ikke forutsatte påvirkning fra sansene, men som likevel måtte foregå i tid og rom. Ja, gjennom slike rene anskuelser kunne man komme fram til sannheter som både var uavhengig av erfaringen (a priori) og ikke lot seg utlede gjennom begrepsanalyse (syntetisk). Og matematiske setninger var nettopp slike syntetiske a priori sannheter. At vinkelsummen i en trekant er lik to rette vinkler (180o) er en kunnskap som ikke kan utledes av begrepet trekant. Tilsvarende med påstanden 7+5=12: Analyserer vi begrepet ’summen av syv og fem’ vil vi ikke kunne komme fram til tolv. Det må tenkes ut.

En av de fremste figurene innenfor intuisjonismen var Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881–1966) fra Nederland. Rasmusson viser hvordan Brouwer tok utgangspunkt i vår erfaring av tiden: Vi erfarer at den ene sansningen etterfølger den andre, slik at bevisstheten kan fastholde et «da» i forhold til et «nå». Dermed er allerede vår erfaring på et vis todelt og sekvensiell, ut fra dette kan hele tallrekken utvikles (første sansning svarer til 1, den andre svarer til 2; en ny sansning i forhold til disse to svarer til 3, osv.). Mens Frege oppfattet tallene primært som kardinaltall, dvs. de var knyttet til antall objekter i en mengde (begrepsomfang), var tallene for Brouwer først og fremst ordinaltall, dvs. de var posisjonsmarkører i en sekvens (tallet 6 kommer etter 4 og 5 og etterfølges av 7 og 8). Vi innser intuitivt at å addere 3 og 4 er det samme som å føye sammen rekken 1-2-3 og 1-2-3-4, og disse vil havne på 7. plass på tallrekken når det plasseres etter hverandre (og tilsvarende vil også 1-2-3-4 og 1-2-3 havne på 7; dvs. 3+4 = 4+3). Multiplikasjon vil i sin tur være en gjentatt addisjon (4x6 er å plassere 1-2-3-4 seks ganger etter hverandre på tallinjen). Som Rasmusson påpeker var slike intuisjoner eller anskuelser for Brouwer førspråklige, og matematikkens tegn og formler var forsøk på å omsette slike opprinnelige erfaringer. Den språklig formulerte matematikken er derfor noe sekundært i forhold til den opprinnelige, opplevde erfaringen eller intuisjonen (anskuelsen), og siden språket er et historisk og kulturelt medium, skapt av mennesker i spesifikke situasjoner, er det heftet med vilkårlighet og situasjonsbetingethet. Siden logikken er en form for språk, er matematikken derfor uavhengig av logikken (ja, logikken må snarere basere seg på matematikken, og er i bunn og grunn en empirisk vitenskap). De matematiske intuisjonene er derimot absolutt sikre, og matematikkens grunnlag må derfor legges her. Matematikkens kunnskapsområde må konstrueres ut fra det opprinnelige gitte i anskuelsen eller intuisjonen. Ingenting kan holdes for sant hvis det ikke kan innses (bevises) i anskuelsen. Derfor er uendelighet (for eksempel mengden av alle naturlige tall) en problematisk størrelse for Brouwer, understreker Rasmusson. Uendeligheten kan i høyden forstås som potensiell: Faktisk uendelighet kan ikke finnes, siden alle matematiske sannheter må kunne konstrueres, og alle elementer i en mengde må kunne oppregnes (og det må gjøres innenfor en begrenset tid). Derfor kan heller ikke loven om den ekskluderte tredje (tertium non datur) gjelde (dvs. en påstand må enten være sann eller ikke sann): En påstand om at tallrekken 0123456789 enten forekommer eller ikke forekommer i desimalutviklingen av π, kan derfor karakteriseres som meningsløs fordi vi ikke (foreløpig) vet om påstanden er sann eller falsk – og heller ikke kjenner noen metode som kan avgjøre det. Man kan således ikke utelukke at det finnes matematiske problemer som ikke lar seg løse. Dessuten finnes det for Brouwer ingen matematisk «verden» uavhengig av bevisstheten. Alle matematiske størrelser og teoremer er skapt av mennesket. At et matematisk utsagn er sant, innebærer derfor at det har blitt observert i anskuelsen. Før Johann Heinrich Lamberts i 1761 beviste at π var et irrasjonalt tall, var det således ikke sant at π var et irrasjonalt tall.

Drømmen som brast

Det er lett å forstå at slike perspektiver skapte debatt blant matematikere og filosofer om synet på matematiske objekters eksistens og loven om den ekskluderte tredje, og den siste personen Rasmusson tar for seg – David Hilbert (1862–1943), som var matematikkprofessor i Göttingen – var forundret over at en matematiker overhodet kunne tillate seg å tvile på tertium non datur-prinsippet. Å berøve matematikeren dette prinsippet var som å ta teleskopet fra astronomen, hevdet han. En rekke matematiske bevis er jo basert på at man foretar et reductio ad absurdum-bevis, dvs. man antar at p gjelder, dette fører til en motsigelse, og man slutter dermed at antakelsen må være gal (ikke-p). Uten loven om den ekskluderte tredje, ville dette ikke være mulig.

Som Frege og Brouwer søkte Hilbert ifølge Rassmusson å finne en fast grunn for matematikken, og mente å få til dette ved å utvikle en aksiomatisk metode (det såkalte Hilberts program). Som i intuisjonismen starter han med våre anskuelser, men de matematiske objektene for anskuelsen var for Hilbert tegnene selv. Se for eksempel på tegnfølgene eller strekfølgene I, II, III, IIII eller /, //, ///, ////. Vi ser at figurene III og /// har noe felles, de ligner på hverandre, de har samme «strektype». Disse objektene eller figurene kan man i sin tur gi navn, for eksempel kan man kalle den første for «1», den andre for «2», osv. (men i prinsippet kunne man ha kalt den første for «0»). Denne rekken av innholdsløse figurer har samme struktur som sekvensen av naturlige tall: Når man anskuer en av figurene, så kan vi uten videre anskue hvordan neste figur vil se ut. Disse strektypene viser oss derfor hva slags anskuelser som ligger til grunn for vårt begrep om tall. De kalles «kvasi-konkrete» strektyper fordi de er konkrete manifestasjoner av matematiske størrelser. Som ved intuisjonismen må matematikken ifølge Hilbert utvikles på basis av slike anskuelser, og holde seg innenfor grensen for det som kan anskues og utføres. Denne filosofien kalles derfor «finitisme». Men det er her ikke (som hos Brouwer) snakk om en ikke-språklig intuitiv erkjennelse av en temporær todeling (da og nå) eller intuitiv innsikt i at noe må være sant, men en konstruksjon av matematiske sannheter på grunnlag av gitte, ytre, kommuniserbare strekfølger (Hilbert baserte sitt konsistensbevis på innholdsløse tegn, formler og aksiomer og deres syntaks). Og framfor alt: I motsetning til Brouwer, opererte Hilbert med ideelle matematiske objekter (omtrent slik Kant snakket om regulative ideer): Man kan vitterlig ikke anskue uendelige mengder (som mengden av alle naturlige tall), men man kan anta slike objekter hvis de skaper orden og sammenheng og ikke skaper inkonsistenser. Det må være tillatt å resonnere som om de naturlige tallene utgjør en avsluttet helhet (av samme grunn kan man regne med ideelle objekter som i=√-1).

Rasmusson viser hvordan Hilberts program gikk ut på å basere alle eksisterende, matematiske teorier på et endelig antall aksiomer, og bevise at disse aksiomene utgjorde et konsistent system (systemet kunne ikke inneholde både p og ikke-p). Alle matematiske utsagn i det aksiomatiske systemet måtte skrives i et presist formalspråk (formalisering), kunne bestemmes som sant eller falsk (avgjørbarhet) og bevises innenfor systemet (fullstendighet). Han viste hvordan reelle tall kunne utgjøre en modell for den euklidske geometrien, og dermed ville geometrien være konsistent hvis aritmetikken var det. Derfor var det om å gjøre å bevise at aritmetikken var konsistent (motsigelsesfri). Så sent som i 1930 var Hilbert overbevist om at hans program lot seg gjennomføre.

Men så kom Kurt Gödel (1906–1978) med sine ufullstendighetsbevis. Da falt det hele i grus. Ja, man kan si at matematikken aldri ble den samme etter Gödel, hevder Rasmusson. Man kunne ikke lenger for alvor håpe på å gi matematikken et sikkert grunnlag. Gödel var bare 23 år gammel da han fullførte sine to såkalte ufullstendighetsteorem (publisert i 1931), der han klarte å vise at for ethvert konsistent aksiomatisk system av den typen som omfatter heltallaritmetikken vil det finnes sanne påstander som ikke kan bevises ut fra aksiomene. Måten han gjorde dette på gikk kort fortalt ut på å tilordne hvert symbol, hver formel og hvert bevis i det aksiomatiske systemet til et tall, et såkalt Gödel-tall (+ tilordnes tallet 3, = tilordnes tallet 5, osv., mens elementet i en formel ble satt som eksponenten til et primtall og formelen selv som produktet av disse tallene). Tilsvarende kunne enhver påstand om elementene i systemet omsettes til et Gödel-tall. På den måten var det mulig å utrykke påstander om systemet ved hjelp av elementene i systemet. Gödel konstruerte så en selvrefererende påstand som forenklet lyder: «(G) Formelen G er ikke bevisbar» (eller enda mer forenklet: «Jeg er ikke bevisbar»). Gödel undersøkte om G var bevisbar og fant at G var bevisbar hvis og bare hvis også ikke-G var bevisbar. Systemet var altså inkonsistent. Det betydde i sin tur at hvis systemet var konsistent, så var verken G eller ikke-G bevisbare formler. Men som vi ser, er det jo nettopp dette også G påstår, og altså må G være sann (!). Det fantes med andre ord en sann påstand som ikke lot seg bevise innenfor systemet. Likeledes kunne Gödel i et annet ufullstendighetsbevis bevise at hvis et slikt aksiomatisk system er konsistent, så er det ufullstendig (ikke alle dets teoremer kan bevises).

Ifølge Rasmusson slo dette beina under enhver filosofi som forsøkte å redusere klassisk matematikk til et aksiomatisk system (men rammet ikke Brouwers intuisjonisme, som uansett betraktet formelle, språklige systemer som usikre overbygninger i forhold til opprinnelige anskuelser). Ja, ifølge Rasmusson fikk Gödels beviser idéhistorisk betydning langt utover kretsen av matematikere: Det ble en utbredt oppfatning at forestillingen om noe «objektivt» sant kun var en samfunnsmessig konstruert myte. Når selv ikke matematikken – vitenskapens sikre skanse – kunne skilte med et sikkert og ubetvilelig grunnlag, så lå veien åpen for «postmoderne» filosofer og intellektuelle som tok et oppgjør med troen på objektivitet, rasjonalitet, framskritt og frigjøring gjennom vitenskap. Men som Rasmusson gjør oppmerksom på, hadde allerede Wittgenstein påpekt at matematikken ikke trengte noe sikkert grunnlag. Matematikken var et språkspill blant mange andre. Og med framveksten av relativitetsteorien og kvantefysikken ble det for alvor opplagt at «alt flyter». Man kunne ikke operere med sisteinstanser som rom, tid og partikler. De var relative, tvetydige og uhåndgripelige størrelser. Like lite som det finnes en formel som kan angi hvordan primtallene fordeler seg på tallinjen, finnes det en formel som kan forutsi konstellasjonen, lokaliteten og hastigheten til elektronene i et atom på et bestemt tidspunkt (derimot er det mulig å utarbeide sannsynlighetsmodeller). Ja, Rasmusson foreslår at matematikken «bör kanske främst betraktas som det senaste stadiet i en lång historisk utveckling, präglad av en mängd kulturella influenser och formad av krav från krigs- och ingenijörskonst, jordbruk, handel, tillverkningsindustri, fysik och astronomi». Ikke bare er det matematiske symbolspråket et historisk produkt, det samme er også hva man regner for matematikk (en kinesisk matematiker på 1200-tallet ville ikke betrakte geometri som en del av matematikken) eller hva slags størrelser som kan antas (den moderne matematikkens tale om uendeligheter og kontinuum av reelle tall ville for grekerne ha framstått som uhørt mangel på måtehold). Selv hva som skal gjelde som bevis er kulturelt bestemt. I våre dager får slike spørsmål en særlig aktualitet på grunn av den rivende utviklingen innenfor IKT. Datamaskiner kan på noen timer eller dager foreta beregninger som mennesker ikke engang gjennom et helt sivilisasjonsforløp ville kunne løse for hånd. Men dermed mister vi også kontrollen over bevisførselen. Ikke bare kan datamaskinene ha feil og mangler, men ofte er selve programmeringen så komplisert at man trenger svære team av programmerere, og det vil være umulig – gjennom såkalt programverifikasjon – å være sikker på at maskinen tolker programmet slik det er tenkt, påpeker Rasmusson.

Matematiske bevis

Ian Hacking tar for seg mange av de samme problemstillingene, men ut fra en mye mer usystematisk og lemfeldig tilnærming. Boken springer ut av en rekke forelesninger Hacking holdt for ca. fem år siden, og det forklarer vel kanskje noe av den løse, uhøytidelige og springende stilen. Svaret på at det finnes matematikkfilosofi «i det hele tatt» er ifølge Hacking framfor alt to ting. Det ene er at vi (eller i alle fall noen av oss) erfarer hvor overbevisende og overveldende et godt matematisk bevis kan være. Vi bergtas rett og slett (personlig begeistres jeg fremdeles av det enkle beviset for at summen av alle heltall fra 1 til n er gitt av formelen ). Det andre er at av en eller annen merkverdig grunn synes naturlovene å kunne beskrives ved hjelp av matematikk. Den «rene» matematikken som først og fremst ble utviklet av estetiske grunner, viste seg å bli et uvurderlig redskap i de empiriske vitenskapene. Det første punktet var ifølge Hacking særlig viktig for Platon og grekerne, det andre var særlig viktig for Kant og opplysningsfilosofien.

Det er særlig tre problematikker han tar for seg i forlengelsen av slike spørsmål. For det første at det finnes ulike former for matematiske bevis. Babylonerne hadde en velutviklet matematisk kultur (og kjente godt det vi kaller Pythagorassetningen), men de brydde seg ikke om deduktive bevis: De matematiske teoremene var velkjente, bekreftet av erfaringen og kunne brukes i regne- og beregningsteknikker – hva skulle de da med demonstrative bevis?, spør Hacking. Det var grekerne som fant på slikt, ikke minst for å demme opp for sofistenes retoriske kunster. Og da var det geometrien som var idealet – aritmetikk var for handelsfolk og offiserer (helt fram til opplysningstiden var ofte geometri og matematikk synonyme begreper). Hacking tar særlig for seg to idealtypiske bevismodeller. I den ene bevisformen innser vi at et bevis må være riktig ved å overskue beviset fra start til mål. Vi innser at noe må være tilfelle (også gjennom tankeeksperimenter), jf. den berømte aha!-følelsen. Denne bevisformen er typisk for Descartes. Poenget er at man har oversikt over hele beviset og blir overbevist om dets riktighet. Man skjønner ikke bare at noe er sant, men hvorfor noe er sant. I den andre bevisformen må man gå skrittvis til verks, og først etter omstendelige og lange utregninger kommer vi fram til resultatet (jf. den mer oppgitte puh!-følelsen). Dette er typisk for Leibniz’ matematikk. Ifølge Hacking er matematikken i økende grad blitt «leibniziansk». Elegante matematiske bevis som man overbevises av umiddelbart, hører til unntakene. I dag finnes det så lange og krevende bevis at ikke én person, ja, ikke engang et helt team, kan sjekke dem (man må som nevnt stole på computersjekk). Det betyr i sin tur at «bevis» de siste 50 årene har fått en annen betydning. Til og med Wittgenstein skrev som om bevis var en ja-eller nei-affære (enten var et teorem bevist eller ikke bevist). Siden mange bevis ikke lenger kan sjekkes eller forstås av en enkelt person – og potensielle feil kan finnes i datamaskinenes software og hardware – snakker man i dag snarere om grader av evidens (eller sannsynlighet). Såkalt «eksperimentell» matematikk er for lengst blitt en del av matematikernes hverdag.

Ren og anvendt matematikk

Den andre problematikken Hacking behandler, er forholdet mellom «ren» matematikk (bevisføring) og «anvendt» matematikk. Dette skillet er ifølge Hacking historisk oppstått og slett ikke opplagt og likefram. Han viser blant annet til historikeren Penelope Maddys påstand om at all matematikk før det nittende århundre var anvendt matematikk, og at det altså først var på 1800-tallet at «ren» matematikk oppstod. Hacking benekter ikke dette, men vil ikke anvende begrepet «anvendt» matematikk på perioden før 1750: Det var først da skillet mellom «ren» og «anvendt» matematikk oppstod at det ble meningsfullt å snakke om «anvendt» matematikk. Kant spilte en viktig rolle i etableringen av dette skillet, fordi han anså aritmetikk (knyttet til tiden) og geometri (knyttet til rommet) for å være a priori betingelser for erfaring og kunnskap (Kants problemstilling var som kjent: Gitt at Newtons lover gjelder i naturen – hva er mulighetsbetingelsene for at dette er tilfelle?). Dermed ble matematikken på et vis løsrevet fra (den empiriske) kunnskapen. I ettertiden var det særlig i Frankrike på 1800-tallet at man institusjonelt (blant annet gjennom militærutdanning på École Polytechnique) begynte å skille anvendt og ren matematikk. Uansett: Den tradisjonelle arbeidsdelingen mellom matematikk og naturvitenskap – gitt at man vil forklare et fenomen, så formulerer man det i matematiske termer, dernest bedriver man «ren» matematikk, for dernest å «anvende» de matematiske resultatene på fenomenet – stemmer av og til, ifølge Hacking. Men han gjennomgår en rekke eksempler der det vanskelig lar seg avgjøre hva som er ren og hva som er anvendt matematikk (for eksempel i utarbeidelse av mest effektive flyvinger).

Dessuten kan jo matematikken også anvendes på seg selv. Det var noe slikt Descartes gjorde da han benyttet aritmetikk og algebra til å klargjøre problemer i geometrien (på begynnelsen av 1900-tallet skulle Hermann Minkowski gjøre det motsatte). Man fikk altså det oppsiktsvekkende fenomen at det er en form for samsvar mellom geometri og tallteori, de syntes å dreie seg om «det samme». Ja, det er i det hele tatt en allmenn erfaring at spesialområder innenfor matematikken nettopp har utviklet seg ved å anvende matematikk fra et annet og tilsynelatende irrelevant område. Og ikke minst kan matematikk ha hva Hacking kaller uintenderte anvendelser: Han påpeker at matematikk er den viktigste utsilings- og sorteringsmekanismen i skolen, dvs. man bruker matematikk for å sortere bort dem som ikke er «egnet» til høyere utdanning eller ikke bør få adgang til bestemte studier. Ja, man krever sågar matematiske ferdigheter og kompetanser til yrker som få eller ingen innenfor dette yrket noen gang vil få bruk for. Folk som stryker i matematikk må pent finne seg noe annet å gjøre. Slike utelukkelsesprosedyrer er også en måte å «anvende» matematikk på.

Hva matematikk er, er i det hele tatt et åpent spørsmål, hevder Hacking. Ulike ordbøker definerer matematikk på forskjellige måter, det er i grunnen bare skolematematikken som i dag foregir at matematikk er noe bestemt og avgrenset. Som vi har sett, hevdet Frege og Russell at matematikk var logikk, mens den franske matematikkgruppen «Bourbaki» mente at matematikk var studiet av struktur. De tok for gitt hva matematikk var, hevder Hacking. Hans helt er snarere Wittgenstein, som foreslo at matematikk primært var en praksis og et språkspill, og hevdet at matematikk var et helt mangfold av ulike praksiser.

Platonisme og nominalisme

Den tredje problematikken Hacking stadig kretser omkring er platonismen (gjerne også kalt realismen), som han plasserer opphavet til hos pythagoreerne: De trodde at man kunne avsløre universets hemmeligheter gjennom matematikken, og det var denne oppfatningen Platon overtok. Ikke minst ble Platon imponert over Euklids bevis for at det finnes fem og bare fem polyedre (også kalt platonske legemer), altså legemer med like kanter, hjørner og sider: tetraeder (tresidet pyramide), heksaeder (kube), dodekaeder (tolv pentagoner) og ikosaeder (20 likesidede trekanter). At det bare skulle finnes fem slike regulære polyedre – og at det kan bevises matematisk – er jo mildest talt forbausende. Det var et tegn på at det fantes en egen matematisk verden, bestående av matematiske objekter, strukturer og lover, som matematikerne kunne avdekke og beskrive.

Mens striden på 1900-tallet stod mellom platonister og intuisjonister, er det i dag mer vanlig å skille mellom platonister og nominalister, hevder Hacking. Han eksemplifiserer blant annet posisjonene gjennom å skissere synspunktene til en platonist (Alaine Connes) og en nominalist (Timothy Gowers). Connes benekter ikke at matematikken er menneskeskapt – det er vi som lager tall, figurer og datamaskiner. Men dette er «projektive» redskaper som vi «projiserer» på en foreliggende, uorganisert matematisk virkelighet. Som verden omkring oss yter den på et vis motstand mot våre begrepsdannelser; den har en koherens som vi må ta hensyn til. Gitt at vi har tallrekker, så vil det også finnes en verden av aritmetiske sannheter. Gödels første ufullstendighetsbevis representerer tilsvarende en innsikt om hvordan et matematisk (aksiomatisk system) «der ute» er beskaffent (Gödel var for øvrig selv platonist). Connes er derfor overbevist om at den matematiske virkeligheten har mange hemmeligheter som vi ennå ikke har «oppdaget».

Gowers representerer derimot nominalismen, eller i alle fall en variant av den. En «ekte» nominalist ville hevde at tall, mengder eller funksjoner ikke eksisterer. Gower på sin side avviser ikke at slike ting eksisterer, men påstår at det egentlig ikke gir noen mening å hevde at de gjør det (eller ikke). Matematikken trenger ingen filosofi, siden filosofi knapt spiller noen rolle med hensyn til hva matematikere faktisk gjør: Det gjør ikke noen forskjell på matematikerens praksis om han/hun tror på eksistensen av abstrakte objekter utenfor oss selv eller ikke. Dessuten: Når man har bevist et teorem, så er det ikke slik at man har bevist at teoremet er «sant» eller at noen matematiske objekter har egenskaper som vi ikke før visste om, men kun at et bestemt utsagn kan utledes av visse andre utsagn ut fra bestemte regler. Matematikken består kun av et system av logiske deduksjoner, ut fra gitte aksiomer, innenfor et bestemt språk. Om tall eller andre matematiske «objekter» finnes eller ikke, er meningsløse spørsmål: De er plasser i strukturer, verken mer eller mindre.

Vi er alle på et vis naturalister eller nominalister, siden vi har vanskelig for å forstå at matematikken kan eksistere utenfor oss, hevder Hacking. Men samtidig er det vanskelig for matematikere (og andre) å helt klare seg uten denne forestillingen, så innerst inne er vi likevel platonister.

Hacking opererer også med to modeller for matematikkens utvikling. Den ene er flaggermusmodellen: Man tenker seg her at utviklingen av matematikken er teleologisk, at den utvikler seg som en organisme (fra foster til voksen flaggermus). Hvis et folkeslag på en annen planet hadde de fysiske og intellektuelle forutsetningene for å utvikle matematikk, ville de stort sett ha utviklet den samme matematikken som vi kjenner. Gitt at de har en forestilling om naturlige tall og at tall kan brukes til å regne med (tallteori), ligger det så å si i tallenes natur at hvis man beskjeftiger seg med dem, så vil man etter hvert finne ut at man kan utvide de naturlige tallene til reelle tall, de reelle tallene til komplekse tall og de komplekse tallene til såkalte kvaternioner. Den andre modellen ser matematikkutviklingen mer som en serie med lykketreff og tilfeldigheter: Matematikken utvikler seg omtrent slik et språk utvikler seg: Utviklingen følger ingen plan og er et resultat av mengder av tilfeldige, menneskelige valg. Et folkeslag på en annen planet ville for eksempel ikke nødvendigvis måtte konstruere ulike typer uendelige mengder (som hos Georg Cantor − Hacking holder en knapp på denne modellen). Hacking påpeker for øvrig at matematiske evner er sterkt biologisk betinget, og at det derfor i grunnen er ganske få mennesker som vil være stand til å drive med eller forstå sågar ganske ukomplisert matematikk. Det finnes ikke noe belegg for at den store variasjonen av talent – eller sågar interesse – for matematikk, er et resultat av slett pedagogikk. Ulikheten i matematiske evner er noe vi må leve med og ikke noe som kan avhjelpes med nye læreplaner og bedre lærere.

Hackings store styrke er at han klarer å illustrere sine poenger med gode eksempler, og fører et språk som lar seg forstå. Rett som det er markerer han riktignok preferanser til den ene eller annen posisjon, uten at det ofte blir klart hvorfor han mener én tar feil og en annen har rett. Man må dessuten ha tålmodighet med at det finnes lite orden og struktur i hans framstilling. Selv om boken ytre sett har en struktur, hopper han som en hare i alle retninger underveis. Mot slutten av boken har han listet opp en rekke mer eller mindre berømte matematikere og filosofer, og forteller hvor han kjenner dem fra og hvordan de har påvirket ham. Det virker nærmest som en skryteliste, men leseren får i alle fall med seg at Hacking er en mann som er veletablert innenfor feltet (og det var vel meningen). Kanskje må listen også forstås som en aldrende manns hilsen til dem han har kjent innenfor feltet opp gjennom årene. Hacking gir oss uansett et innblikk i sentrale idéhistoriske debatter omkring hva matematikk er og kan være. Hans bok går ikke som Rasmussons i dybden, men flyter (i mer enn én forstand) ut i alle retninger. Men det kan jo også ha sin verdi.

Av Espen Schaanning | IFIKK, Universitetet i Oslo | .(JavaScript must be enabled to view this email address)